望月新一教授の論文で解決されたのでは？と現在注目を集めている「abc予想」の解説書である。この予想が提出されるに至った歴史的経緯、この予想から導かれる重大な帰結、更にラングの講義録集『ラング 数学を語る』の第II講に、この予想が「20世紀における最高の予想の１つ」として解説されている事、などをご存知の数学ファンも少なくないだろう。本書はその様な方々にとっても、とても魅力ある書であると言える。
先ず、本書ではabc予想が提出される前に、関数体版（多項式版を含む）abc予想といえる「ストーサーズ-メイソンの定理」が発見され、楕円曲線の「スピロ予想」などと密接に関係しながら、マッサーとエステルレにより1980年代の半ばにこの予想が提示されたことが説明されている。また、この予想が成立すれば、モーデル予想、ロスの定理、（K(ε)のEffective評価が与えられれば）フェルマー予想、などの大定理の別証明が得られ、更にあるL関数族の例外零点（ジーゲル零点）の非存在を証明できる事が説明され、この予想の有用性を理解でき非常に面白い。abc予想の簡単な応用として、カタラン予想（2つの連続する整数で共にべき乗数であるのは、(8,9)のペアの１つだけという予想。2004年にミハイレスクが肯定的に解決）の解の個数が高々有限である事が示されているが、センスがある方はabc予想をどの様に使えば良いか気付かれると思うので、答を見る前に是非挑戦して頂きたいと思う。
本書の最大の魅力は、ゼータ関数論や絶対数学の開拓者であり唱道者でもある著者が、abc予想とゼータ関数に関する「リーマン予想」と「ラングランズ予想」、さらに楕円曲線と保型形式の数論との関わりを情熱的に語っている所にあると思う。例えば、2.6「素数とリーマン予想」、2.7「リーマン予想と絶対数学」では、リーマン予想とラングランズ予想攻略への絶対数学の位置づけに関する著者の揺ぎない信念が語られており、非常に印象的である。また、「望月氏の論文は、F1上の微分をF1上の小平・スペンサー写像として構成するところが最大の要点であり」とあり、壮大な数学宇宙の広がりを予見させてくれる。
ゼータ関数論、楕円曲線と保型形式の数論、などの基礎知識があると、本書の理解は更に深まり、面白さを一層実感できると思う。本書の著者達の著書である『数論I、II』（岩波）、『オイラー探検』、『リーマン予想のこれまでとこれから』などが好適な入門書・解説書として薦められる。本書は「絶対数学は勉強する価値が十分ありそうだ」と気づかせてくれる書でもあると思う。全ての数学愛好家にお薦めできる超面白い一冊といえる。
【付記】
本書の中に少し気になる誤記／誤植があるので、以下に指摘しておきたい。
・ 4.1「多項式abc予想の証明」で、（5の○式の）左辺はa/bとなっているが、b/aが正しい。従って、その後の証明における（5の○式の）左辺の分子と分母は、夫々b、aと読み直す（＝置き換える）必要がある
・ P.172 下から5行目： 「2位の零点」は「2位の極」が正しい
・ P.179 上から8行目： 「p2」（二乗）は「p’2」（導関数の二乗）が正しい
・ P.186 上から6行目： 二つ目の式の右辺の「p(Z2)」は「p(Z1)」が正しい
・ P.208 下から6〜8行目： 数列の値で、3のべき指数「2n」は「2のn乗」が正しい
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